Biểu thức chứa căn

Bộ ba ý quen thuộc của dạng "biểu thức chứa căn": thay số tính trực tiếp — biến đổi đại số quy đồng — vận dụng tính chia hết để tìm $x$ nguyên cho giá trị $P$.

Điều kiện xác định đã cho: $x > 0,\ x \neq 9$. Khi đó $\sqrt{x} > 0$ và $\sqrt{x} \neq 3$, nên các mẫu $\sqrt{x},\ \sqrt{x}-3,\ x-9 = (\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)$ đều khác $0$.

1) Tính A khi x = 25

Khi $x = 25$ thì $\sqrt{x} = 5$ (thoả $x > 0,\ x \neq 9$). Thay vào: $A = \dfrac{5 - 4}{5} = \dfrac{1}{5}.$

2) Chứng minh B = √x / (√x + 3)

Sử dụng hằng đẳng thức $x - 9 = (\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)$ làm mẫu chung:

$$B = \dfrac{4}{\sqrt{x}-3} + \dfrac{x - 7\sqrt{x} - 12}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} = \dfrac{4(\sqrt{x}+3) + (x - 7\sqrt{x} - 12)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}.$$

Khai triển tử số:

$$4(\sqrt{x}+3) + (x - 7\sqrt{x} - 12) = 4\sqrt{x} + 12 + x - 7\sqrt{x} - 12 = x - 3\sqrt{x} = \sqrt{x}\,(\sqrt{x} - 3).$$

Do đó $$B = \dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3} \qquad (\text{đpcm}).$$

3) Tìm x để P = A·B nguyên

Nhân hai biểu thức và rút gọn $\sqrt{x}$ ở tử với mẫu:

$$P = A \cdot B = \dfrac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}} \cdot \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3} = \dfrac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}+3}.$$

Tách phần nguyên để lộ phần dư:

$$P = \dfrac{(\sqrt{x}+3) - 7}{\sqrt{x}+3} = 1 - \dfrac{7}{\sqrt{x}+3}.$$

Vì $x > 0$ nên $\sqrt{x} + 3 > 3 > 0$. Do đó $P \in \mathbb{Z}$ khi và chỉ khi $\dfrac{7}{\sqrt{x}+3} \in \mathbb{Z}$, tức $\sqrt{x} + 3$ là ước dương của $7$.

Tập ước dương của $7$ là $\{1;\,7\}$. Mà $\sqrt{x} + 3 > 3$, nên chỉ còn nghiệm $\sqrt{x} + 3 = 7$, tức $\sqrt{x} = 4$, suy ra $x = 16$.

Kiểm tra: $x = 16$ thoả mãn điều kiện $x > 0,\ x \neq 9$. Khi đó $P = \dfrac{4 - 4}{4 + 3} = 0 \in \mathbb{Z}$. ✓