Lập phương trình & Vi-ét

Ba ý nhỏ, mỗi ý 1 điểm — 1 điểm — 0,5 điểm: bài toán năng suất giải bằng phương trình một ẩn, bài toán mua hoa giải bằng hệ hai ẩn, và biểu thức đối xứng các nghiệm xử lí bằng Vi-ét kết hợp "thay nghiệm vào phương trình".

1) Bài toán năng suất may áo

Gọi ẩn. Đặt $x$ là số chiếc áo mỗi ngày tổ may được theo kế hoạch ($x$ là số nguyên dương, $x \in \mathbb{N}^*$).

• Trong 3 ngày đầu (đúng kế hoạch), tổ may được $3x$ (chiếc).
• Trong 7 ngày tiếp theo (vượt kế hoạch 5 chiếc/ngày), tổ may được $7(x + 5)$ (chiếc).
• Tổng sau 10 ngày là $335$ chiếc, dẫn đến phương trình $3x + 7(x+5) = 335.$

Giải: $3x + 7x + 35 = 335 \Rightarrow 10x = 300 \Rightarrow x = 30.$ Giá trị này thoả $x \in \mathbb{N}^*$.

2) Bài toán mua hoa hồng và hoa cúc

Gọi ẩn. Gọi $x$ là số bông hoa hồng, $y$ là số bông hoa cúc đã mua ($x,\,y \in \mathbb{N}^*$).

Theo đề bài, ta lập hệ phương trình:

$$\begin{cases} x + y = 25 \\ 8x + 6y = 180 \end{cases}$$

Từ phương trình thứ nhất: $y = 25 - x$. Thế vào phương trình thứ hai:

$$8x + 6(25 - x) = 180 \;\Leftrightarrow\; 8x + 150 - 6x = 180 \;\Leftrightarrow\; 2x = 30 \;\Leftrightarrow\; x = 15.$$

Suy ra $y = 25 - 15 = 10$. Cả hai giá trị $x = 15,\ y = 10$ đều thuộc $\mathbb{N}^*$ — hợp lí.

3) Tính Q theo định lí Vi-ét

Kiểm tra biệt thức: $\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5 > 0$. Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$, đồng thời $x_1,\,x_2 \neq 0$ vì tích các nghiệm khác $0$.

Mẹo "thay nghiệm vào phương trình": vì $x_2$ là nghiệm nên $x_2^2 - 3x_2 + 1 = 0$, tức $3x_2 - 1 = x_2^2$. Do đó

$$\dfrac{3x_2 - 1}{x_1} = \dfrac{x_2^2}{x_1} = x_2^2 \cdot \dfrac{1}{x_1} = x_2^2 \cdot x_2 \cdot \dfrac{x_2}{x_2} \; \text{… hoặc gọn hơn: } \; \dfrac{x_2^2}{x_1} = x_2^2 \cdot x_2 = ?$$

Cách gọn nhất là dùng $\dfrac{1}{x_1} = x_2$ trực tiếp:

$$\dfrac{3x_2 - 1}{x_1} = (3x_2 - 1)\cdot \dfrac{1}{x_1} = (3x_2 - 1)\,x_2 = 3x_2^2 - x_2.$$

Tương tự $\dfrac{3x_1}{x_2} = 3x_1 \cdot \dfrac{1}{x_2} = 3x_1 \cdot x_1 = 3x_1^2.$

Thay vào biểu thức $Q$:

$$Q = (3x_2^2 - x_2) + 3x_1^2 - x_1 = 3(x_1^2 + x_2^2) - (x_1 + x_2).$$

Áp dụng $x_1^2 + x_2^2 = 7$ và $x_1 + x_2 = 3$:

$$Q = 3 \cdot 7 - 3 = 21 - 3 = 18.$$