Bài toán cực trị thực tế

Đây là dạng "AM-GM kết hợp ràng buộc nguyên" — quen thuộc trong các đề Hà Nội. Mấu chốt là vừa dùng BĐT Cauchy để xác định vùng tối ưu, vừa kiểm tra cẩn thận các điểm nguyên xung quanh để chọn nghiệm thực tế.

1) Lập biểu thức chi phí

Gọi $n$ là số công nhân được điều động, $d$ là số ngày thuê kho ($n,\,d \in \mathbb{N}^*$).

• Mỗi công nhân làm $5$ sản phẩm/ngày, nên trong $d$ ngày $n$ công nhân làm được $5nd$ sản phẩm.
• Để hoàn thành đơn hàng $1000$ sản phẩm: $5nd \geq 1000 \;\Leftrightarrow\; nd \geq 200.$
• Tổng chi phí (triệu đồng): $T(n, d) = 3d + n.$

2) Tối ưu khi nd = 200

Vì $T$ tăng theo $n$ và theo $d$, để $T$ nhỏ nhất thì $nd$ chỉ vừa đủ, tức xét $nd = 200$ (nếu $nd > 200$ ta vẫn có thể giảm $n$ hoặc $d$ để giảm $T$ mà điều kiện $nd \geq 200$ vẫn được giữ — và bài toán nguyên cũng có thể đạt cực trị ngay tại biên này khi $200$ phân tích được thành tích hai số nguyên dương).

Khi đó $n = \dfrac{200}{d}$ và $T = 3d + \dfrac{200}{d}.$

3) Thử các giá trị nguyên gần điểm tối ưu

Với mỗi $d$ nguyên, lấy $n$ nguyên nhỏ nhất sao cho $nd \geq 200$ (tức $n = \lceil 200/d \rceil$), rồi tính $T = 3d + n$:

Giá trị nhỏ nhất của $T$ là $49$ triệu đồng, đạt được khi $d = 8$ ngày và $n = 25$ công nhân (lưu ý $8 \cdot 25 = 200$, vừa khít — bể vừa đủ "đầy" và không có ngày dư).