thichhoc.org
Câu I

Xác suất & Đại số

2,0 điểm · Đếm số biểu diễn được dưới dạng tổng hai số chính phương liên tiếp; biểu thức ràng buộc đối xứng

Hai ý nhỏ đối lập: ý 1 thiên về đếm cẩn thận trên không gian mẫu hữu hạn; ý 2 đòi hỏi nhận diện dạng tổng bình phương để khẳng định tồn tại duy nhất bộ (a,b,c)(a,b,c).

1) Xác suất biến cố A

Không gian mẫu. Tập các số tự nhiên nhỏ hơn 125125 là Ω={0, 1, 2, …, 124}\Omega = \{0,\,1,\,2,\,\ldots,\,124\}, suy ra ∣Ω∣=125|\Omega| = 125. Các kết quả là đồng khả năng.

Phân tích tổng hai chính phương liên tiếp

Hai số chính phương liên tiếp là k2k^2 và (k+1)2(k+1)^2 với k∈Nk \in \mathbb{N}. Tổng của chúng là Sk=k2+(k+1)2=2k2+2k+1.S_k = k^2 + (k+1)^2 = 2k^2 + 2k + 1.

Vì SkS_k là hàm tăng nghiêm ngặt theo k≥0k \ge 0, mỗi giá trị SkS_k tương ứng duy nhất một kk. Do đó số phần tử thuận lợi chính là số kk sao cho Sk<125S_k < 125.

Liệt kê các giá trị Sk=2k2+2k+1S_k = 2k^2 + 2k + 1 với Sk<125S_k < 125:

kk012345678
Sk=k2+(k+1)2S_k = k^2 + (k+1)^2151325416185113145

Cụ thể S8=145>124S_8 = 145 > 124, nên dừng tại k=7k = 7. Vậy có đúng 88 kết quả thuận lợi: {1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113}\{1,\,5,\,13,\,25,\,41,\,61,\,85,\,113\}.

P(A)=8125.P(A) = \dfrac{8}{125}.

P(A)=8125P(A) = \dfrac{8}{125}.Đáp số Câu I.1
Trong chương trình THCS hiện hành, số chính phương bao gồm 0=020 = 0^2. Do đó S0=1S_0 = 1 vẫn là tổng hai chính phương liên tiếp.

2) Tính M = abc

Từ a+b+c=0a + b + c = 0 suy ra b=−(a+c)b = -(a+c). Thay vào điều kiện thứ hai:

a2+c2−4bc−2b+2=a2+c2+4c(a+c)+2(a+c)+2=0.a^2 + c^2 - 4bc - 2b + 2 = a^2 + c^2 + 4c(a+c) + 2(a+c) + 2 = 0.

Khai triển: a2+5c2+4ac+2a+2c+2=0a^2 + 5c^2 + 4ac + 2a + 2c + 2 = 0.

Nhận dạng tổng bình phương

Ta tách thành tổng hai bình phương đầy đủ:

a2+5c2+4ac+2a+2c+2=(a+2c+1)2+(c−1)2.a^2 + 5c^2 + 4ac + 2a + 2c + 2 = (a + 2c + 1)^2 + (c - 1)^2.

Kiểm tra khai triển. (a+2c+1)2=a2+4c2+1+4ac+2a+4c(a+2c+1)^2 = a^2 + 4c^2 + 1 + 4ac + 2a + 4c. (c−1)2=c2−2c+1(c-1)^2 = c^2 - 2c + 1. Cộng lại: a2+5c2+4ac+2a+(4c−2c)+(1+1)=a2+5c2+4ac+2a+2c+2a^2 + 5c^2 + 4ac + 2a + (4c - 2c) + (1 + 1) = a^2 + 5c^2 + 4ac + 2a + 2c + 2. ✓

Vì tổng hai bình phương bằng 00 nên cả hai bình phương đều bằng 00:

  • c−1=0⇒c=1.c - 1 = 0 \Rightarrow c = 1.
  • a+2c+1=0⇒a=−2c−1=−3.a + 2c + 1 = 0 \Rightarrow a = -2c - 1 = -3.
  • b=−(a+c)=−(−3+1)=2.b = -(a + c) = -(-3 + 1) = 2.

Kiểm tra ngược. a+b+c=−3+2+1=0a + b + c = -3 + 2 + 1 = 0 ✓. a2+c2−4bc−2b+2=9+1−8−4+2=0a^2 + c^2 - 4bc - 2b + 2 = 9 + 1 - 8 - 4 + 2 = 0 ✓.

Vậy M=abc=(−3)(2)(1)=−6.M = abc = (-3)(2)(1) = -6.

M=abc=−6M = abc = -6.Đáp số Câu I.2