Đề bài chính thức

Đề Chuyên Toán năm 2026 giữ cấu trúc 5 câu lớn với thang điểm 10. Câu I và II (mỗi câu 2,0đ) tập trung vào xác suất – đại số và số học. Câu III (2,0đ) phối hợp số nguyên và bất đẳng thức. Câu IV (3,0đ) là bài hình học phẳng với ba ý. Câu V (1,0đ) là bài tổ hợp – số học khép lại đề.

Câu I (2,0 điểm)

1) Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên nhỏ hơn $125$. Tính xác suất của biến cố $A$: "Số được chọn viết được dưới dạng tổng của hai số chính phương liên tiếp".

2) Cho $a,\,b,\,c$ là các số thực thỏa mãn đồng thời $a + b + c = 0$ và $a^2 + c^2 - 4bc - 2b + 2 = 0$. Tính giá trị của biểu thức $M = abc$.

Câu II (2,0 điểm)

1) Cho $n$ là số nguyên dương thỏa mãn tồn tại các số nguyên dương $a,\,b,\,c$ sao cho $$n = \dfrac{a^2 + b^2 + c^2 + 1}{abc}.$$ Chứng minh $n$ chia hết cho $4$ nhưng không chia hết cho $8$.

2) Tìm tất cả cặp số tự nhiên $(x;\,y)$ thỏa mãn $$\dfrac{x^3 + 3}{x + 2} = \dfrac{4y^2}{2y + 1}.$$

Câu III (2,0 điểm)

1) Tìm tất cả cặp số nguyên dương $(n;\,p)$ thỏa mãn đồng thời: $p$ là số nguyên tố và $4n^2 + p^3 + 4p^2 - 8p - 32$ chia hết cho $np + 4n$.

2) Với $a,\,b,\,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a + b + c = 2$, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P = \dfrac{bc + 2a + 1}{a^2 + 1} + \dfrac{ca + 2b + 1}{b^2 + 1} + \dfrac{ab + 2c + 1}{c^2 + 1}.$$

Câu IV (3,0 điểm)

Cho tam giác nhọn $ABC$ cân tại $A$, có đường cao $AH$. Lấy điểm $O$ thuộc đoạn thẳng $AH$ sao cho $OH > OA$. Đường thẳng $AB$ cắt đường tròn tâm $O$ bán kính $OB$ tại điểm thứ hai $T$. Lấy điểm $E$ thuộc đoạn thẳng $AB$ sao cho $AE > AT$. Đường trung trực của đoạn thẳng $CE$ cắt đường thẳng $AH$ tại điểm $N$.

1. Chứng minh bốn điểm $A,\,E,\,N,\,C$ cùng thuộc một đường tròn.
2. Đường thẳng qua điểm $A$ và song song với đường thẳng $BC$ cắt đường trung trực của đoạn thẳng $CE$ tại điểm $K$. Gọi $F$ là trung điểm của đoạn thẳng $ET$. Chứng minh $\widehat{OFK} = 90^{\circ}$.
3. Chứng minh đường tròn tâm $O$ bán kính $OB$, đường tròn đường kính $NK$ và đường thẳng $TK$ cùng đi qua một điểm.

Câu V (1,0 điểm)

Xét số nguyên dương $n$ và tập hợp $S$ gồm $n$ số nguyên dương $a_1,\,a_2,\,a_3,\,\ldots,\,a_n$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

• i) $a_1 < a_2 < a_3 < \ldots < a_n = 2000.$
• ii) Với mọi số tự nhiên $k$, $2 \le k \le n$, tồn tại các số nguyên dương $i,\,j$ nhỏ hơn $k$ (không nhất thiết phân biệt) sao cho $a_k = a_i + 4a_j.$

1. Chứng minh tất cả các phần tử của tập hợp $S$ đều là số chẵn.
2. Tìm giá trị lớn nhất của $n$.